Упражнение 94 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. $$\frac{4x^2+8x-5}{x+1}<0$$

   Разложим числитель на множители:
   $$4x^2+8x-5=(2x-1)(2x+5).$$
   Тогда
   $$\frac{(2x-1)(2x+5)}{x+1}<0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac52,\,-1,\,\frac12.$$ По знакам получаем:
   $$x\in\left(-\frac52,-1\right)\cup\left(-1,\frac12\right).$$

2. $$\frac1{1-x}>\frac3{x+3}$$

   Перенесём в одну сторону:
   $$\frac{x+3-3+3x}{(1-x)(x+3)}>0,$$
   $$\frac{4x}{(1-x)(x+3)}>0.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
   $$\frac{4x}{(x-1)(x+3)}>0.$$

   Критические точки: $$x=-3,\,0,\,1.$$ Тогда
   $$x\in(-\infty,-3)\cup(0,1).$$

3. $$\frac{3x}{x^2+3x}>1$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{3x-(x^2+3x)}{x^2+3x}>0,$$
   $$\frac{-x^2}{x(x+3)}>0,$$
   $$\frac{-x}{x+3}>0,\qquad x\ne0,\,-3.$$

   Решаем неравенство:
   $$x\in(-3,0).$$

4. $$\frac{x-4}{4x^2-4x-3}<0$$

   Разложим знаменатель:
   $$4x^2-4x-3=(2x-3)(2x+1).$$
   Тогда
   $$\frac{x-4}{(2x-3)(2x+1)}<0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac12,\,\frac32,\,4.$$ По знакам:
   $$x\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(\frac32,4\right).$$

5. $$\frac{2x^2+x-15}{x+2}>0$$

   Разложим числитель:
   $$2x^2+x-15=(2x-5)(x+3).$$
   Получаем
   $$\frac{(2x-5)(x+3)}{x+2}>0.$$

   Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,\frac52.$$ Тогда
   $$x\in(-3,-2)\cup\left(\frac52,+\infty\right).$$

6. $$x-1\ge \frac{x^2-3x-1}{x-1}$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$x-1-\frac{x^2-3x-1}{x-1}\ge0,$$
   $$\frac{(x-1)^2-(x^2-3x-1)}{x-1}\ge0,$$
   $$\frac{2x}{x-1}\ge0,\qquad x\ne1.$$

   Решаем неравенство:
   $$x\in(-\infty,0]\cup(1,+\infty).$$

Ответ

1) $$\left(-\frac52,-1\right)\cup\left(-1,\frac12\right)$$;
2) $$(-\infty,-3)\cup(0,1)$$;
3) $$(-3,0)$$;
4) $$\left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(\frac32,4\right)$$;
5) $$(-3,-2)\cup\left(\frac52,+\infty\right)$$;
6) $$(-\infty,0]\cup(1,+\infty)$$.