Упражнение 92 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а)
$$\frac{2x^2+x+2}{x^2-1}<0$$
Числитель всегда положителен, так как
$$2x^2+x+2=0,\quad D=1-16=-15<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит
$$2x^2+x+2>0$$
при всех $$x$$.Тогда дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен:
$$x^2-1<0,$$
$$ (x-1)(x+1)<0.$$Отсюда
$$x\in(-1;1).$$б)
$$\frac{x-2}{x^2-1}>\frac{2x}{x-1}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}-\frac{2x}{x-1}>0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x-2-2x(x+1)}{(x-1)(x+1)}>0,$$
$$\frac{-2x^2- x-2}{(x-1)(x+1)}>0.$$Умножим числитель на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$\frac{2x^2+x+2}{(x-1)(x+1)}<0.$$Так как $$2x^2+x+2>0$$ при всех $$x$$, получаем
$$ (x-1)(x+1)<0,$$
значит
$$x\in(-1;1).$$в)
$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+x+1}>2$$
Перенесём $$2$$ влево:
$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+x+1}-2>0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2+5x+6-2x^2-2x-2}{x^2+x+1}>0,$$
$$\frac{-x^2+3x+4}{x^2+x+1}>0.$$Так как
$$x^2+x+1>0$$
при всех $$x$$, то достаточно решить
$$-x^2+3x+4>0,$$
$$x^2-3x-4<0,$$
$$ (x-4)(x+1)<0.$$Следовательно,
$$x\in(-1;4).$$г)
$$\frac{x^2-2x+10}{x^2-5x+4}<1$$
Перенесём $$1$$ влево:
$$\frac{x^2-2x+10}{x^2-5x+4}-1<0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2-2x+10-x^2+5x-4}{x^2-5x+4}<0,$$
$$\frac{3x+6}{x^2-5x+4}<0,$$
$$\frac{3(x+2)}{(x-1)(x-4)}<0.$$Критические точки: $$x=-2,\;1,\;4.$$ По знакам получаем
$$x\in(-\infty;-2)\cup(1;4).$$д)
$$\frac{(x-3)(x^2-3x+2)}{x^2+3x+2}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\quad x^2+3x+2=(x+1)(x+2).$$Тогда
$$\frac{(x-3)(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}>0.$$Критические точки: $$-2,\,-1,\,1,\,2,\,3.$$ По знакам:
$$x\in(-2;-1)\cup(1;2)\cup(3;+\infty).$$е)
$$\frac{(x-2)(x^2-5x+6)}{x^2-5x+4}\le 0$$
Разложим:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\quad x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$Получаем
$$\frac{(x-2)^2(x-3)}{(x-1)(x-4)}\le 0.$$Так как $$ (x-2)^2\ge 0 $$ и обращается в ноль при $$x=2$$, решаем по знакам дроби:
$$\frac{x-3}{(x-1)(x-4)}\le 0,$$
при этом $$x\ne 1,\;4.$$Отсюда
$$x\in(-\infty;1)\cup(3;4).$$
Ответ
а) $$(-1;1)$$;
б) $$(-1;1)$$;
в) $$(-1;4)$$;
г) $$(-\infty;-2)\cup(1;4)$$;
д) $$(-2;-1)\cup(1;2)\cup(3;+\infty)$$;
е) $$(-\infty;1)\cup(3;4)$$.
