Упр.9.88 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$\tg \alpha=\frac{1}{3},\quad \tg \beta=-\frac{4}{3},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Используем формулу:
$$\cos(\alpha+2\beta)=\frac{1-\tg^2\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}{1+\tg^2\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}.$$
Найдём $$\tg \frac{\alpha}{2}$$:
$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1+\tg^2\alpha}-1}{\tg \alpha}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{9}}-1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$\tg\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)=\frac{\tg \frac{\alpha}{2}+\tg \beta}{1-\tg \frac{\alpha}{2}\tg \beta} =\frac{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)} =-\frac{9}{13}.$$
Следовательно,
$$\cos(\alpha+2\beta)=\frac{1-\left(-\frac{9}{13}\right)^2}{1+\left(-\frac{9}{13}\right)^2} =\frac{1-\frac{81}{169}}{1+\frac{81}{169}} =\frac{88}{250} =\frac{44}{125}.$$
б) $$\tg \alpha=\frac{5}{12},\quad \tg \beta=-\frac{3}{4},\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Сначала найдём $$\tg \frac{\alpha}{2}$$. Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во II четверти, значит $$\tg \frac{\alpha}{2}<0$$:
$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=-\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$\tg\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)=\frac{-\frac{1}{3}-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)} =\frac{-\frac{13}{12}}{\frac{3}{4}} =-\frac{13}{9}.$$
Следовательно,
$$\cos(\alpha+2\beta)=\frac{1-\left(-\frac{13}{9}\right)^2}{1+\left(-\frac{13}{9}\right)^2} =\frac{1-\frac{169}{81}}{1+\frac{169}{81}} =-\frac{88}{125}.$$
Ответ
а) $$\frac{44}{125}$$; б) $$-\frac{88}{125}$$.
