Упр.9.87 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)

$$\tg 40^\circ+\sqrt{3}=\frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}+\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$$
$$=\frac{\sin 40^\circ\cos 60^\circ+\sin 60^\circ\cos 40^\circ}{\cos 40^\circ\cos 60^\circ}$$
$$=\frac{\sin(40^\circ+60^\circ)}{\cos 40^\circ\cdot \frac12} =\frac{\sin 100^\circ}{\frac12\cos 40^\circ}$$
$$=\frac{2\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ} =\frac{2\sin(90^\circ+10^\circ)}{\cos 40^\circ} =\frac{2\cos 10^\circ}{\cos 40^\circ}.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 40^\circ+\sin 60^\circ=2\sin 50^\circ\cos 10^\circ,$$

и получаем

$$\tg 40^\circ+\sqrt{3}=4\sin 40^\circ.$$

Следовательно,

$$4\sin 40^\circ=4\sin 40^\circ.$$

б)

$$\ctg 70^\circ-\sqrt{3}=\frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ}-\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$$
$$=\frac{\cos 70^\circ\sin 30^\circ-\cos 30^\circ\sin 70^\circ}{\sin 70^\circ\sin 30^\circ}$$
$$=\frac{\sin(30^\circ-70^\circ)}{\sin 70^\circ\cdot \frac12} =\frac{\sin(-40^\circ)}{\frac12\sin 70^\circ}$$
$$=\frac{-2\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} =\frac{-2\sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}.$$

Так как

$$\sin 40^\circ=2\sin 20^\circ\cos 20^\circ,$$

то

$$\ctg 70^\circ-\sqrt{3}=-4\sin 20^\circ=-4\cos 70^\circ.$$