Упр.9.86 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем формулу тангенса суммы:

$$\tg 3\alpha=\tg(2\alpha+\alpha)=\frac{\tg 2\alpha+\tg \alpha}{1-\tg 2\alpha \tg \alpha}.$$

Подставим формулу двойного угла:

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

Тогда

$$\tg 3\alpha=\frac{\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}+\tg \alpha}{1-\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}\tg \alpha}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\tg 3\alpha=\frac{\frac{2\tg \alpha+\tg \alpha(1-\tg^2 \alpha)}{1-\tg^2 \alpha}}{\frac{1-\tg^2 \alpha-2\tg^2 \alpha}{1-\tg^2 \alpha}}.$$

Сократим на общий знаменатель:

$$\tg 3\alpha=\frac{2\tg \alpha+\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}=\frac{3\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}.$$

Следовательно,

$$\tg 3\alpha=\frac{\tg \alpha\,(3-\tg^2 \alpha)}{1-3\tg^2 \alpha}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\tg 3\alpha=\frac{\tg \alpha\,(3-\tg^2 \alpha)}{1-3\tg^2 \alpha}.$$