Упр.9.85 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Обозначим

$$x=\tg \frac{\alpha}{2}, \quad y=\tg \frac{\beta}{2}, \quad z=\tg \frac{\gamma}{2}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$xy+xz+yz=1.$$

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,$$ то

$$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta),$$

и потому

$$z=\tg \frac{\gamma}{2}=\tg \left(90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\ctg \frac{\alpha+\beta}{2}.$$

Используем формулу

$$\ctg (u+v)=\frac{\ctg u \cdot \ctg v-1}{\ctg u+\ctg v}.$$

Тогда

$$z=\ctg \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1-xy}{x+y}.$$

Подставим это в левую часть:

$$ xy+xz+yz =xy+x\cdot \frac{1-xy}{x+y}+y\cdot \frac{1-xy}{x+y} $$

$$ =xy+\frac{(x+y)(1-xy)}{x+y} =xy+1-xy =1. $$

Следовательно,

$$\tg \frac{\alpha}{2}\cdot \tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\alpha}{2}\cdot \tg \frac{\gamma}{2}+\tg \frac{\beta}{2}\cdot \tg \frac{\gamma}{2}=1.$$

Ответ

$$1$$