Упр.9.84 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Пусть $$\alpha,\beta,\gamma$$ — углы треугольника. Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,$$

откуда

$$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

а) Преобразуем левую часть:

$$ \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma =\tg \alpha+\tg \beta+\tg\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr) =\tg \alpha+\tg \beta-\tg(\alpha+\beta). $$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}. $$

Тогда

$$ \tg \alpha+\tg \beta-\tg(\alpha+\beta) =\tg \alpha+\tg \beta-\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta} $$

$$ =(\tg \alpha+\tg \beta)\left(1-\frac{1}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}\right) $$

$$ =(\tg \alpha+\tg \beta)\cdot \frac{-\tg \alpha\cdot \tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta} =\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma. $$

Значит,

$$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma.$$

б) Аналогично, учитывая, что

$$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^\circ,$$

получаем

$$ \ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\tg \left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)+\tg \left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)+\tg \left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right). $$

Так как

$$ 90^\circ-\frac{\gamma}{2} =90^\circ-\frac{180^\circ-(\alpha+\beta)}{2} =\frac{\alpha+\beta}{2}, $$

то

$$ \ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\tg \frac{\beta+\gamma}{2}+\tg \frac{\gamma+\alpha}{2}+\tg \frac{\alpha+\beta}{2}. $$

Применяя формулу из пункта а) к углам $$\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2},\frac{\gamma}{2}$$, получаем

$$ \ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\ctg \frac{\alpha}{2}\cdot \ctg \frac{\beta}{2}\cdot \ctg \frac{\gamma}{2}. $$

Тождество доказано.