Упр.9.84 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Пусть $$\alpha,\beta,\gamma$$ — углы треугольника. Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,$$

откуда

$$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

а) Преобразуем левую часть:

$$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma =\tg \alpha+\tg \beta+\tg\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr) =\tg \alpha+\tg \beta-\tg(\alpha+\beta).$$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}.$$

Тогда

$$\tg \alpha+\tg \beta-\tg(\alpha+\beta) =\tg \alpha+\tg \beta-\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}$$

$$=(\tg \alpha+\tg \beta)\left(1-\frac{1}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}\right)$$

$$=(\tg \alpha+\tg \beta)\cdot \frac{-\tg \alpha\cdot \tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta} =\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma.$$

Значит,

$$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma.$$

б) Аналогично, учитывая, что

$$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^\circ,$$

получаем

$$\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\tg \left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)+\tg \left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)+\tg \left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right).$$

Так как

$$90^\circ-\frac{\gamma}{2} =90^\circ-\frac{180^\circ-(\alpha+\beta)}{2} =\frac{\alpha+\beta}{2},$$

то

$$\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\tg \frac{\beta+\gamma}{2}+\tg \frac{\gamma+\alpha}{2}+\tg \frac{\alpha+\beta}{2}.$$

Применяя формулу из пункта а) к углам $$\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2},\frac{\gamma}{2}$$, получаем

$$\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2} =\ctg \frac{\alpha}{2}\cdot \ctg \frac{\beta}{2}\cdot \ctg \frac{\gamma}{2}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma,$$

$$\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}+\ctg \frac{\gamma}{2}=\ctg \frac{\alpha}{2}\cdot \ctg \frac{\beta}{2}\cdot \ctg \frac{\gamma}{2}.$$