Упр.9.82 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем формулу половинного угла:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$$

а)

$$\tg \frac{\pi}{8}=\frac{\sin \frac{\pi}{4}}{1+\cos \frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot \frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}=\frac{\sqrt2(2-\sqrt2)}{4-2}=\sqrt2-1.$$

б)

$$\tg \frac{\pi}{12}=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{1+\cos \frac{\pi}{6}}=\frac{\frac12}{1+\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{1}{2+\sqrt3}\cdot \frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{4-3}=2-\sqrt3.$$

Ответ

а) $$\sqrt2-1$$; б) $$2-\sqrt3$$.