Упр.9.80 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а)

$$\frac{1}{1-\tg \alpha}-\frac{1}{1+\tg \alpha} = \frac{1+\tg \alpha-(1-\tg \alpha)}{(1-\tg \alpha)(1+\tg \alpha)} = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

По формуле
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha},$$
получаем
$$\frac{1}{1-\tg \alpha}-\frac{1}{1+\tg \alpha}=\tg 2\alpha.$$

б)

$$\frac{\tg \alpha}{1-\tg \alpha}+\frac{\tg \alpha}{1+\tg \alpha} = \frac{\tg \alpha(1+\tg \alpha)+\tg \alpha(1-\tg \alpha)}{(1-\tg \alpha)(1+\tg \alpha)}$$
$$= \frac{\tg \alpha+\tg^2 \alpha+\tg \alpha-\tg^2 \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = \tg 2\alpha.$$

Следовательно,
$$\frac{\tg \alpha}{1-\tg \alpha}+\frac{\tg \alpha}{1+\tg \alpha}=\tg 2\alpha.$$

ОДЗ: $$1-\tg \alpha\neq 0,\quad 1+\tg \alpha\neq 0,\quad 1-\tg^2 \alpha\neq 0,$$ то есть $$\tg \alpha\neq \pm 1.$$

Ответ

а) $$\tg 2\alpha$$; б) $$\tg 2\alpha$$.