Упр.9.8 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Дано: $$\sin \alpha = -\frac{1}{4}, \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$

$$\cos \beta = \frac{1}{4}, \quad \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$$

Найдем $$\cos(\alpha-\beta).$$

Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\cos \alpha < 0$$:

$$\cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha} = -\sqrt{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{16}} = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Так как $$\beta$$ лежит в IV четверти, то $$\sin \beta < 0$$:

$$\sin \beta = -\sqrt{1-\cos^2\beta} = -\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{16}} = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Теперь используем формулу разности косинусов:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим найденные значения:

$$\cos(\alpha-\beta)=\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\cdot\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)=-\frac{\sqrt{15}}{16}+\frac{\sqrt{15}}{16}=0.$$

Ответ

$$0$$