Упр.9.78 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Используем формулу

$$\tg \alpha+\tg \beta=\tg(\alpha+\beta)\bigl(1-\tg \alpha \tg \beta\bigr).$$

Тогда

$$ \tg \frac{\pi}{16}+\tg \frac{3\pi}{16}+\tg \frac{\pi}{16}\tg \frac{3\pi}{16} =\tg \left(\frac{\pi}{16}+\frac{3\pi}{16}\right)\left(1-\tg \frac{\pi}{16}\tg \frac{3\pi}{16}\right)+\tg \frac{\pi}{16}\tg \frac{3\pi}{16}. $$

Так как

$$\frac{\pi}{16}+\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi}{4}, \qquad \tg \frac{\pi}{4}=1,$$

получаем

$$ 1\cdot \left(1-\tg \frac{\pi}{16}\tg \frac{3\pi}{16}\right)+\tg \frac{\pi}{16}\tg \frac{3\pi}{16}=1. $$

Следовательно, равенство верно.

б) Аналогично применим формулу

$$\tg \alpha-\tg \beta=\tg(\alpha-\beta)\bigl(1+\tg \alpha \tg \beta\bigr).$$

Тогда

$$ \tg \frac{7\pi}{8}-\tg \frac{5\pi}{8}-\tg \frac{7\pi}{8}\tg \frac{5\pi}{8} =\tg \left(\frac{7\pi}{8}-\frac{5\pi}{8}\right)\left(1+\tg \frac{7\pi}{8}\tg \frac{5\pi}{8}\right)-\tg \frac{7\pi}{8}\tg \frac{5\pi}{8}. $$

Так как

$$\frac{7\pi}{8}-\frac{5\pi}{8}=\frac{\pi}{4}, \qquad \tg \frac{\pi}{4}=1,$$

то

$$ 1\cdot \left(1+\tg \frac{7\pi}{8}\tg \frac{5\pi}{8}\right)-\tg \frac{7\pi}{8}\tg \frac{5\pi}{8}=1. $$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.