Упр.9.76 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Используем формулу тангенса суммы:

$$\tg(45^\circ+\alpha)=\frac{\tg45^\circ+\tg\alpha}{1-\tg45^\circ\tg\alpha}=\frac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}.$$

Так как $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$$ то при $$\cos\alpha\ne0$$ получаем

$$\tg(45^\circ+\alpha)=\frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}.$$

Для существования выражения нужно, чтобы

$$\cos\alpha\ne0,\qquad 1-\tg\alpha\ne0.$$

Отсюда

$$\alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad \alpha\ne \frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу тангенса разности:

$$\tg(45^\circ-\alpha)=\frac{\tg45^\circ-\tg\alpha}{1+\tg45^\circ\tg\alpha}=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}.$$

При $$\cos\alpha\ne0$$ имеем

$$\tg(45^\circ-\alpha)=\frac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}.$$

Для существования выражения нужно, чтобы

$$\cos\alpha\ne0,\qquad 1+\tg\alpha\ne0.$$

Следовательно,

$$\alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad \alpha\ne -\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\tg(45^\circ+\alpha)=\frac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha},\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \alpha\ne \frac{\pi}{4}+\pi k,\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg(45^\circ-\alpha)=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha},\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \alpha\ne -\frac{\pi}{4}+\pi k,\ n,k\in\mathbb Z.$$