Упр.9.73 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. Используем формулу суммы тангенсов:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}$$

   Тогда

   $$\tg(60^\circ+45^\circ)=\frac{\tg60^\circ+\tg45^\circ}{1-\tg60^\circ\,\tg45^\circ}=\frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=\frac{(\sqrt3+1)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}=\frac{4+2\sqrt3}{-2}=-2-\sqrt3$$

2. Аналогично:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{6}+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg\frac{\pi}{6}\,\tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{1}{\sqrt3}+1}{1-\frac{1}{\sqrt3}}$$

   Упростим:

   $$\frac{\frac{1}{\sqrt3}+1}{1-\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt3-1}=\frac{(1+\sqrt3)(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$$

3. Используем формулу разности тангенсов:

   $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}$$

   Тогда

   $$\tg(60^\circ-45^\circ)=\frac{\tg60^\circ-\tg45^\circ}{1+\tg60^\circ\,\tg45^\circ}=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\frac{(\sqrt3-1)(1-\sqrt3)}{(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}=\frac{2\sqrt3-4}{-2}=2-\sqrt3$$

4. И ещё:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg\frac{\pi}{6}}{1+\tg\frac{\pi}{4}\,\tg\frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}$$

   Упростим:

   $$\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$$

Ответ

$$\tg(60^\circ+45^\circ)=-2-\sqrt3,\quad \tg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)=2+\sqrt3,\quad \tg(60^\circ-45^\circ)=2-\sqrt3,\quad \tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=2-\sqrt3.$$