Упр.9.72 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а) Используем формулы приведения:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} =\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}.$$

Делим числитель и знаменатель на $$\cos\alpha\cos\beta$$:

$$\tg(\alpha-\beta)= \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} {1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}.$$

б) Для любых углов $$\alpha$$, при которых выражения определены, имеем:

$$\sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}},\qquad \cos\alpha=\frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда

$$\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}\cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}} {\left(1+\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} {\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\sin\alpha,$$

и

$$\frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\left(1-\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} {\left(1+\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}} {\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\cos\alpha.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta},\qquad \sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}},\qquad \cos\alpha=\frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}.$$