Упр.9.72 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Используем формулы приведения:

$$ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} =\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}. $$

Делим числитель и знаменатель на $$\cos\alpha\cos\beta$$:

$$ \tg(\alpha-\beta)= \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} {1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}. $$

б) Для любых углов $$\alpha$$, при которых выражения определены, имеем:

$$ \sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}},\qquad \cos\alpha=\frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}. $$

Тогда

$$ \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}\cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}} {\left(1+\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} {\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\sin\alpha, $$

и

$$ \frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\left(1-\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} {\left(1+\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}} {\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\cos\alpha. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta},\qquad \sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}},\qquad \cos\alpha=\frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}. $$