Упр.9.71 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Так как $$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta),$$ то

$$ \sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma. $$

Подставим $$\alpha+\beta=180^\circ-\gamma$$:

$$ =2\sin(180^\circ-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma =2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma. $$

Используем формулу
$$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}, $$
тогда

$$ 2\sin\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr) =2\sin\gamma\cdot 2\sin\alpha\sin\beta. $$

Следовательно,
$$ \sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$

б) Аналогично, используя формулу
$$ \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y), $$
получаем:

$$ \cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma =2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\cos 2\gamma. $$

Так как $$\alpha+\beta=180^\circ-\gamma,$$ то

$$ =2\cos(180^\circ-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+\cos 2\gamma =-2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)+\cos 2\gamma. $$

Преобразуем $$\cos(\alpha-\beta)$$:

$$ \cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta-1. $$

Тогда

$$ \cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma =4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1. $$

Ответ

а) $$\sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$;
б) $$\cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma=4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1$$.