Упр.9.70 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Пусть $$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta).$$ Тогда

$$ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma =\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta). $$

Раскроем квадрат суммы:

$$ \sin^2(\alpha+\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^2 $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\beta+2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha. $$

Тогда

$$ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma =\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\alpha\cos^2\beta +2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha. $$

Теперь преобразуем правую часть:

$$ 2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma =2+2\cos\alpha\cos\beta\cos(180^\circ-(\alpha+\beta)) $$
$$ =2-2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta). $$

Так как

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, $$

то

$$ 2-2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta) =2-2\cos^2\alpha\cos^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta. $$

Используя $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем

$$ 2-2\cos^2\alpha\cos^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta $$
$$ =\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\alpha\cos^2\beta +2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha. $$

Следовательно, левая и правая части равны.

б) Аналогично, при $$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$$ имеем

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta). $$

Преобразуем правую часть:

$$ 1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma =1-2\cos\alpha\cos\beta\cos(180^\circ-(\alpha+\beta)) $$
$$ =1+2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta). $$

Подставим формулу суммы косинусов:

$$ 1+2\cos\alpha\cos\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) $$
$$ =1+2\cos^2\alpha\cos^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta. $$

После преобразований с $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$ получаем

$$ 1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma =\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma. $$

Значит, равенство доказано.