Упр.9.69 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем формулы приведения и формулы суммы в произведение.

а)

$$ 4\cos \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =2\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos \frac{\gamma}{2}. $$

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,$$ то
$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ-\frac{\gamma}{2}. $$
Тогда
$$ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =2\cos\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)\cos \frac{\gamma}{2} =2\sin \frac{\gamma}{2}\cos \frac{\gamma}{2}, $$
а также
$$ 2\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =\sin \alpha+\sin \beta-\sin \gamma. $$
Следовательно,
$$ 4\cos \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma. $$

б)

$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =2\left(\cos \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \frac{\gamma}{2}. $$

С учётом $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$ получаем
$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ-\frac{\gamma}{2}. $$
Тогда
$$ 2\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =\cos \alpha+\cos \beta, $$
а
$$ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =2\cos\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)\cos \frac{\gamma}{2} =\cos \gamma. $$
Значит,
$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2} =\cos \alpha+\cos \beta-\cos \gamma. $$

в)

$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\sin \frac{\gamma}{2}+1 =2\left(\cos \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin \frac{\gamma}{2}+1. $$

Так как $$\alpha+\beta=180^\circ-\gamma,$$ то
$$ \cos \frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)=\sin \frac{\gamma}{2}. $$
После преобразований получаем
$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\sin \frac{\gamma}{2}+1 =\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma. $$

Ответ:

$$ \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=4\cos \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2}, $$
$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\gamma}{2}=\cos \alpha+\cos \beta-\cos \gamma, $$
$$ 4\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}\sin \frac{\gamma}{2}+1=\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma. $$