Упр.9.68 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\cos x\cos 2x-\cos 3x\cos 4x$$
Используем формулу произведения в сумму:
$$\cos a\cos b=\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr).$$
Тогда
$$ \cos x\cos 2x-\cos 3x\cos 4x =\frac12\bigl(\cos 3x+\cos x\bigr)-\frac12\bigl(\cos 7x+\cos x\bigr) $$
$$ =\frac12(\cos 3x-\cos 7x). $$
Применим формулу разности косинусов:
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$$
Получаем
$$ \frac12(\cos 3x-\cos 7x) =\frac12\cdot\bigl(-2\sin 5x\sin(-2x)\bigr) =\sin 5x\sin 2x. $$
$$\sin x\sin 2x-\sin 3x\sin 4x$$
По формуле
$$\sin a\sin b=\frac12\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)$$
имеем
$$ \sin x\sin 2x-\sin 3x\sin 4x =\frac12\bigl(\cos x-\cos 3x\bigr)-\frac12\bigl(\cos x-\cos 7x\bigr) $$
$$ =\frac12(\cos 7x-\cos 3x). $$
Тогда
$$ \frac12(\cos 7x-\cos 3x) =\frac12\cdot\bigl(-2\sin 5x\sin 2x\bigr) =-\sin 5x\sin 2x. $$
$$\sin x\cos 2x-\sin 3x\cos 4x$$
Используем формулу
$$\sin a\cos b=\frac12\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr).$$
Тогда
$$ \sin x\cos 2x-\sin 3x\cos 4x =\frac12\bigl(\sin 3x+\sin(-x)\bigr)-\frac12\bigl(\sin 7x+\sin(-x)\bigr) $$
$$ =\frac12(\sin 3x-\sin 7x). $$
По формуле разности синусов:
$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$$
Получаем
$$ \frac12(\sin 3x-\sin 7x) =\frac12\cdot 2\cos 5x\sin(-2x) =-\sin 2x\cos 5x. $$