Упр.9.64 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Обозначим

$$A=\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}.$$

Умножим и разделим это выражение на $$8\sin \frac{\pi}{9}$$:

$$ A=\frac{2\left(2\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{\pi}{9}\right)\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{8\sin \frac{\pi}{9}}. $$

По формуле $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ получаем:

$$ A=\frac{2\sin \frac{2\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{8\sin \frac{\pi}{9}} =\frac{\sin \frac{4\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{4\sin \frac{\pi}{9}} =\frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8\sin \frac{\pi}{9}}. $$

Так как $$\sin \frac{8\pi}{9}=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin \frac{\pi}{9},$$ то

$$A=\frac{1}{8}.$$

б) Рассмотрим выражение

$$B=\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}.$$

Аналогично:

$$ B=\frac{2\left(2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}\right)\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}} =\frac{2\sin \frac{2\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}} $$

$$ =\frac{\sin \frac{4\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{4\sin \frac{\pi}{7}} =\frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}}. $$

Так как

$$\sin \frac{8\pi}{7}=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\sin \frac{\pi}{7},$$

то

$$B=-\frac{1}{8}.$$