Упр.9.63 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\sin 2\alpha(\sin 2\alpha+\sin 2\beta)+\cos 2\alpha(\cos 2\alpha+\cos 2\beta)$$
   $$=\sin^2 2\alpha+\sin 2\alpha\sin 2\beta+\cos^2 2\alpha+\cos 2\alpha\cos 2\beta$$
   $$=1+\cos(2\alpha-2\beta)=2\cos^2(\alpha-\beta).$$

2. $$\sin 2\alpha(\sin 2\alpha-\sin 2\beta)+\cos 2\alpha(\cos 2\alpha-\cos 2\beta)$$
   $$=\sin^2 2\alpha-\sin 2\alpha\sin 2\beta+\cos^2 2\alpha-\cos 2\alpha\cos 2\beta$$
   $$=1-\bigl(\cos 2\alpha\cos 2\beta+\sin 2\alpha\sin 2\beta\bigr)$$
   $$=1-\cos(2\alpha-2\beta)=2\sin^2(\alpha-\beta).$$

3. $$\cos^3\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha\cos\alpha$$
   $$=\sin\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)$$
   $$=\frac12\sin 2\alpha\cos 2\alpha=\frac14\sin 4\alpha.$$

4. $$2\sin 2\alpha\sin\alpha+\cos 3\alpha$$
   $$=2\sin 2\alpha\sin\alpha+\cos(2\alpha+\alpha)$$
   $$=2\sin 2\alpha\sin\alpha+\cos 2\alpha\cos\alpha-\sin 2\alpha\sin\alpha$$
   $$=\sin 2\alpha\sin\alpha+\cos 2\alpha\cos\alpha$$
   $$=\cos(2\alpha-\alpha)=\cos\alpha.$$

5. $$1+2\cos 2\alpha+\cos 4\alpha$$
   $$=1+2\cos 2\alpha+\bigl(2\cos^2 2\alpha-1\bigr)$$
   $$=2\cos 2\alpha+2\cos^2 2\alpha$$
   $$=2\cos 2\alpha(1+\cos 2\alpha)$$
   $$=2\cos 2\alpha\cdot 2\cos^2\alpha=4\cos^2\alpha\cos 2\alpha.$$

6. $$1+2\cos 3\alpha+\cos 6\alpha$$
   $$=1+2\cos 3\alpha+\bigl(2\cos^2 3\alpha-1\bigr)$$
   $$=2\cos 3\alpha+2\cos^2 3\alpha$$
   $$=2\cos 3\alpha(1+\cos 3\alpha)$$
   $$=2\cos 3\alpha\cdot 2\cos^2\frac{3\alpha}{2}=4\cos^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha.$$

7. $$\sin 3\alpha-\sin(\alpha+\alpha)$$
   $$=\sin\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin 2\alpha-\bigl(2\sin\alpha\cos\alpha\bigr)$$
   $$=\sin\alpha(\cos 2\alpha-2\cos^2\alpha)+\cos\alpha\sin 2\alpha$$
   $$=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.$$

8. $$\cos 3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)$$
   $$=\cos 2\alpha\cos\alpha-\sin 2\alpha\sin\alpha$$
   $$=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha$$
   $$=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.$$

Ответ

$$\text{а) }2\cos^2(\alpha-\beta),\quad \text{б) }2\sin^2(\alpha-\beta),\quad \text{в) }\frac14\sin 4\alpha,\quad \text{г) }\cos\alpha,$$
$$\text{д) }4\cos^2\alpha\cos 2\alpha,\quad \text{е) }4\cos^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha,\quad \text{ж) }3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\quad \text{з) }4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.$$