Упр.9.62 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Раскроем скобки и воспользуемся формулами суммы косинусов и синусов:

$$ (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 $$
$$ = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta $$
$$ = 2 + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) $$
$$ = 2 + 2\cos(\alpha-\beta) $$
$$ = 2\bigl(1+\cos(\alpha-\beta)\bigr) = 4\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

б) Аналогично:

$$ (\sin \alpha — \sin \beta)^2 + (\cos \alpha — \cos \beta)^2 $$
$$ = \sin^2 \alpha — 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha — 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta $$
$$ = 2 — 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) $$
$$ = 2 — 2\cos(\alpha-\beta) $$
$$ = 2\bigl(1-\cos(\alpha-\beta)\bigr) = 4\sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

Ответ

$$ (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}, $$
$$ (\sin \alpha — \sin \beta)^2 + (\cos \alpha — \cos \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}. $$