Упр.9.60 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Дано: $$\sin \alpha=-\frac13,\qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Найдём $$\cos \frac{\alpha}{2}.$$ Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во II четверти, значит $$\cos \frac{\alpha}{2}<0.$$

$$ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}. $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac{2\sqrt2}{3}}{2}} =-\sqrt{\frac{3+2\sqrt2}{6}}. $$

Так как $$3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2,$$ получаем

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt2+1}{\sqrt6} =-\frac{\sqrt{12}+ \sqrt6}{6}, $$

что эквивалентно записи

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{3+2\sqrt2}{6}}. $$

б) Дано: $$\cos \alpha=-\frac{12}{13},\qquad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Найдём $$\cos \frac{\alpha}{2}.$$ Так как $$\alpha$$ лежит во II четверти, то $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит в I четверти, значит $$\cos \frac{\alpha}{2}>0.$$

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{26}} =\frac{1}{\sqrt{26}}. $$

Ответ

а) $$-\sqrt{\frac{3+2\sqrt2}{6}}$$;
б) $$\frac{1}{\sqrt{26}}$$.