Упр.9.59 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) Дано: $$\cos \alpha=\frac13,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Найдём $$\sin \alpha$$ по формуле $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$:
$$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2} =\sqrt{1-\frac19} =\sqrt{\frac89} =\frac{2\sqrt2}{3}. $$
Теперь используем формулу половинного угла:
$$ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac13}{2}} =\sqrt{\frac{\frac23}{2}} =\sqrt{\frac13} =\frac{1}{\sqrt3}. $$
б) Дано: $$\sin \alpha=\frac35,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Так как угол во II четверти, то $$\cos\alpha<0$$. Найдём $$\cos\alpha$$:
$$ \cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac45. $$
Тогда
$$ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac45\right)}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\sqrt{\frac{\frac95}{2}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}. $$
Ответ
$$ \text{а) } \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt3};\qquad \text{б) } \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}. $$
