Упр.9.52 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Пусть $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда $$\cos \alpha>0$$ и $$\sin \alpha>0.$$

а) Докажем неравенство $$\cos 2\alpha<2\cos \alpha.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$

Так как $$\cos^2\alpha\le 1,$$ то

$$2\cos^2\alpha-1\le 1.$$

Кроме того, при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos \alpha>0,$$ значит

$$2\cos \alpha>0.$$

Следовательно, $$\cos 2\alpha\le 1<2\cos \alpha,$$ то есть

$$\cos 2\alpha<2\cos \alpha.$$

б) Докажем неравенство $$\sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$

По формуле двойного угла:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha.$$

Так как $$\cos \alpha<1$$ при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ а $$\sin \alpha>0,$$ то

$$2\sin \alpha\cos \alpha<2\sin \alpha.$$

Значит,

$$\sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$

Ответ

$$\cos 2\alpha<2\cos \alpha,\qquad \sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$