Упр.9.52 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Пусть $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда $$\cos \alpha>0$$ и $$\sin \alpha>0.$$

а) Докажем неравенство $$\cos 2\alpha<2\cos \alpha.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$

Так как $$\cos^2\alpha\le 1,$$ то

$$2\cos^2\alpha-1\le 1.$$

Кроме того, при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos \alpha>0,$$ значит

$$2\cos \alpha>0.$$

Следовательно, $$\cos 2\alpha\le 1<2\cos \alpha,$$ то есть

$$\cos 2\alpha<2\cos \alpha.$$

б) Докажем неравенство $$\sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$

По формуле двойного угла:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha.$$

Так как $$\cos \alpha<1$$ при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ а $$\sin \alpha>0,$$ то

$$2\sin \alpha\cos \alpha<2\sin \alpha.$$

Значит,

$$\sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$

Ответ

$$\cos 2\alpha<2\cos \alpha,\qquad \sin 2\alpha<2\sin \alpha.$$