Упр.9.48 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а) Дано: $$\sin \alpha=\frac12,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

Так как угол острый, то $$\cos \alpha>0.$$ Найдём косинус:

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha=2\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

б) Дано: $$\cos \alpha=-\frac13,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Угол лежит во II четверти, значит $$\sin \alpha>0.$$ Найдём синус:

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac13\right)^2}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Тогда

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha=2\cdot \frac{2\sqrt2}{3}\cdot \left(-\frac13\right)=-\frac{4\sqrt2}{9}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; б) $$-\frac{4\sqrt2}{9}$$.