Упр.9.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Используем формулу суммы синуса и косинуса:

$$\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha\right)=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\left|\sin \alpha+\cos \alpha\right|=\sqrt{2}\left|\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le \sqrt{2}.$$

Делим обе части на $$\sqrt{2}>0$$:

$$\left|\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le 1.$$

Так как для любого значения аргумента

$$-1\le \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$

то данное неравенство выполняется при любых $$\alpha$$.

Ответ

$$\alpha\in \mathbb{R}.$$