Упр.9.36 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Используем формулы приведения и формулы суммы в произведение.

1. $$\sin \alpha+\cos \alpha=\sin \alpha+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=2\sin\frac{\alpha+\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{2}$$
   $$=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$\cos \alpha-\sin \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin \alpha$$
   $$=2\cos\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha-\alpha}{2}$$
   $$=2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).$$

3. $$\cos 3\alpha-\cos \alpha=-2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2}=-2\sin 2\alpha\sin \alpha.$$

4. $$\sin 3\alpha-\sin \alpha=2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}=2\sin 2\alpha\cos \alpha.$$

5. $$\cos 7\alpha+\cos \alpha=2\cos\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2}=2\cos 4\alpha\cos 3\alpha.$$

6. $$\sin 3\alpha-\sin 5\alpha=2\cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2}$$
   $$=2\cos 4\alpha\sin(-\alpha)=-2\cos 4\alpha\sin \alpha.$$

7. $$\sin \alpha+\sin 3\alpha=2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}=2\sin 2\alpha\cos \alpha.$$

8. $$\cos \alpha-\sin \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin \alpha$$
   $$=2\cos\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha-\alpha}{2}$$
   $$=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).$$

Ответ

$$\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right),$$
$$\cos \alpha-\sin \alpha=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right),$$
$$\cos 3\alpha-\cos \alpha=-2\sin 2\alpha\sin \alpha,$$
$$\sin 3\alpha-\sin \alpha=2\sin 2\alpha\cos \alpha,$$
$$\cos 7\alpha+\cos \alpha=2\cos 4\alpha\cos 3\alpha,$$
$$\sin 3\alpha-\sin 5\alpha=-2\cos 4\alpha\sin \alpha,$$
$$\sin \alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha\cos \alpha.$$