Упр.9.33 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) $$4\cos \alpha — 3\sin \alpha$$

Представим выражение в виде произведения:

$$4\cos \alpha — 3\sin \alpha = 5\left(\frac45\cos \alpha — \frac35\sin \alpha\right).$$

Так как

$$\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=1,$$

то найдётся угол $$\beta$$, для которого

$$\cos \beta=\frac45,\qquad \sin \beta=\frac35.$$

Тогда

$$4\cos \alpha — 3\sin \alpha = 5(\cos \beta \cos \alpha — \sin \beta \sin \alpha)=5\cos(\alpha+\beta).$$

Поскольку $$-1\le \cos(\alpha+\beta)\le 1,$$ получаем:

$$-5\le 4\cos \alpha — 3\sin \alpha \le 5.$$

Значит, наибольшее значение равно $$5$$, а наименьшее — $$-5$$.

б) $$5\cos \alpha + 12\sin \alpha$$

Запишем:

$$5\cos \alpha + 12\sin \alpha = 13\left(\frac5{13}\cos \alpha + \frac{12}{13}\sin \alpha\right).$$

Так как

$$\left(\frac5{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1,$$

то существует угол $$\beta$$ такой, что

$$\sin \beta=\frac5{13},\qquad \cos \beta=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$5\cos \alpha + 12\sin \alpha = 13(\sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha)=13\sin(\alpha+\beta).$$

Поскольку $$-1\le \sin(\alpha+\beta)\le 1,$$ имеем:

$$-13\le 5\cos \alpha + 12\sin \alpha \le 13.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$13$$, а наименьшее — $$-13$$.

в) $$\sin \alpha — 2\cos \alpha$$

Представим выражение так:

$$\sin \alpha — 2\cos \alpha = \sqrt5\left(\frac1{\sqrt5}\sin \alpha — \frac2{\sqrt5}\cos \alpha\right).$$

Так как

$$\left(\frac1{\sqrt5}\right)^2+\left(\frac2{\sqrt5}\right)^2=1,$$

то найдётся угол $$\beta$$, для которого

$$\sin \beta=\frac1{\sqrt5},\qquad \cos \beta=\frac2{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\sin \alpha — 2\cos \alpha = \sqrt5(\sin \beta \cos \alpha — \cos \beta \sin \alpha)=\sqrt5\sin(\beta-\alpha).$$

Так как $$-1\le \sin(\beta-\alpha)\le 1,$$ получаем:

$$-\sqrt5\le \sin \alpha — 2\cos \alpha \le \sqrt5.$$

Значит, наибольшее значение равно $$\sqrt5$$, а наименьшее — $$-\sqrt5$$.

Ответ

а) наибольшее значение $$5$$, наименьшее $$-5$$; б) наибольшее значение $$13$$, наименьшее $$-13$$; в) наибольшее значение $$\sqrt5$$, наименьшее $$-\sqrt5$$.