Упр.9.32 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а) Используем формулы суммы и разности синусов:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Тогда

$$\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)$$
$$=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)+(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$$
$$=2\sin\alpha\cos\beta.$$

б) Аналогично:

$$\sin(\alpha-\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta)$$
$$=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$$
$$=(\sin\alpha\cos\beta)^2-(\cos\alpha\sin\beta)^2$$
$$=\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta.$$

Заменим $$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$$ и $$\cos^2\beta=1-\sin^2\beta$$:

$$\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta$$
$$=\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta$$
$$=\sin^2\alpha-\sin^2\beta.$$

Ответ

$$\text{а) } \sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\cos\beta;$$
$$\text{б) } \sin(\alpha-\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta.$$