Упр.9.32 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Используем формулы суммы и разности синусов:

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$
$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

Тогда

$$ \sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta) $$
$$ =(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)+(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) $$
$$ =2\sin\alpha\cos\beta. $$

б) Аналогично:

$$ \sin(\alpha-\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta) $$
$$ =(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) $$
$$ =(\sin\alpha\cos\beta)^2-(\cos\alpha\sin\beta)^2 $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta. $$

Заменим $$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$$ и $$\cos^2\beta=1-\sin^2\beta$$:

$$ \sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta $$
$$ =\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta $$
$$ =\sin^2\alpha-\sin^2\beta. $$

Ответ

$$ \text{а) } \sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\cos\beta; $$
$$ \text{б) } \sin(\alpha-\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta. $$