Упр.9.18 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\cos \alpha-\sqrt{3}\sin \alpha=2\left(\frac12\cos \alpha-\frac{\sqrt{3}}2\sin \alpha\right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3}\cos \alpha-\sin \frac{\pi}{3}\sin \alpha\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right).$$

   Так как $$-1\le \cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\le 2.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-2,$$ а наибольшее — $$2.$$

2. $$\cos \alpha+\sin \alpha=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos \alpha+\sin \frac{\pi}{4}\sin \alpha\right)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).$$

   Так как $$-1\le \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\le \sqrt{2}.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-\sqrt{2},$$ а наибольшее — $$\sqrt{2}.$$

3. $$\cos \alpha-\sin \alpha=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos \alpha-\sin \frac{\pi}{4}\sin \alpha\right)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).$$

   Так как $$-1\le \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\le \sqrt{2}.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-\sqrt{2},$$ а наибольшее — $$\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$\min=-2,\ \max=2$$; б) $$\min=-\sqrt{2},\ \max=\sqrt{2}$$; в) $$\min=-\sqrt{2},\ \max=\sqrt{2}$$.