Упр.9.17 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$\cos(\alpha+\beta)$$

   Дано: $$0^\circ<\alpha<90^\circ,\quad 180^\circ<\beta<270^\circ,\quad \cos\alpha=\frac12,\quad \sin\beta=-\frac12.$$

   Найдём недостающие значения:

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2},$$
   $$\cos\beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac12\right)^2}=-\sqrt{\frac34}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
   $$=\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac12\right)$$
   $$=-\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}=0.$$

2. б) $$\cos(\alpha-\beta)$$

   Дано: $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,\quad \sin\alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\beta=-1.$$

   Так как $$\alpha$$ лежит в IV четверти, то $$\cos\alpha>0$$:

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Кроме того, из $$\cos\beta=-1$$ следует, что $$\sin\beta=0.$$

   Теперь

   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
   $$=\frac{1}{\sqrt2}\cdot(-1)+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cdot 0$$
   $$=-\frac{1}{\sqrt2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-\frac{1}{\sqrt2}$$.