Упражнение 84 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\left(|x|-1\right)^2>2$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$ и

   $$ (x-1)^2>2 \\ x^2-2x-1>0 $$

   Корни уравнения $$x^2-2x-1=0$$:

   $$ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt2 $$

   При $$x\ge 0$$ получаем $$x>1+\sqrt2$$.

   2) $$x<0$$, тогда $$|x|=-x$$ и

   $$ (-x-1)^2>2 \\ x^2+2x-1>0 $$

   Корни уравнения $$x^2+2x-1=0$$:

   $$ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt2 $$

   При $$x<0$$ получаем $$x<-1-\sqrt2$$.

   Итак,

   $$ x\in(-\infty;\,-1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;\,+\infty) $$

2. б) $$|x|-2>(x-2)^2$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$:

   $$ x-2>(x-2)^2 \\ x-2>x^2-4x+4 \\ x^2-5x+6<0 \\ (x-2)(x-3)<0 $$

   Отсюда $$x\in(2;3)$$.

   2) $$x<0$$, тогда $$|x|=-x$$:

   $$ -x-2>(x-2)^2 \\ -x-2>x^2-4x+4 \\ x^2-3x+6<0 $$

   Но $$D=9-24=-15<0$$, значит решений нет.

   Следовательно,

   $$ x\in(2;3) $$

3. в) $$3|x-1|>(x-1)^2$$

   Пусть $$t=x-1$$. Тогда

   $$ 3|t|>t^2 $$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$t\ge 0$$:

   $$ 3t>t^2 \\ t^2-3t<0 \\ t(t-3)<0 $$

   Отсюда $$t\in(0;3)$$, то есть $$x\in(1;4)$$.

   2) $$t<0$$:

   $$ -3t>t^2 \\ t^2+3t<0 \\ t(t+3)<0 $$

   Отсюда $$t\in(-3;0)$$, то есть $$x\in(-2;1)$$.

   Итак,

   $$ x\in(-2;1)\cup(1;4) $$

4. г) $$x^2+x-12<|x-2|$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x\ge 2$$, тогда $$|x-2|=x-2$$:

   $$ x^2+x-12<x-2 \\ x^2-10<0 \\ (x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})<0 $$

   С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x\in[2;\sqrt{10})$$.

   2) $$x<2$$, тогда $$|x-2|=2-x$$:

   $$ x^2+x-12<2-x \\ x^2+2x-14<0 $$

   $$ D=4+56=60,\qquad x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{60}}{2}=-1\pm\sqrt{15} $$

   Тогда $$x\in(-1-\sqrt{15};-1+\sqrt{15})$$, и с учётом $$x<2$$ получаем $$x\in(-1-\sqrt{15};2)$$.

   Итак,

   $$ x\in(-1-\sqrt{15};\,2)\cup[2;\,\sqrt{10}) $$

5. д) $$(x+2)(x+3)>1$$

   $$ x^2+5x+6>1 \\ x^2+5x+5>0 $$

   Найдём корни уравнения $$x^2+5x+5=0$$:

   $$ D=25-20=5,\qquad x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt5}{2} $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$ x\in\left(-\infty;\frac{-5-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{-5+\sqrt5}{2};+\infty\right) $$

Ответ

а) $$(-\infty;\,-1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;\,+\infty)$$;
б) $$(2;3)$$;
в) $$(-2;1)\cup(1;4)$$;
г) $$(-1-\sqrt{15};\,2)\cup[2;\,\sqrt{10})$$;
д) $$\left(-\infty;\frac{-5-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{-5+\sqrt5}{2};+\infty\right)$$.