Упражнение 82 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-4x\right)^2\ge 16.$$

Перенесём 16 влево и разложим на множители:

$$\left(x^2-4x\right)^2-16\ge 0,$$
$$\left(x^2-4x-4\right)\left(x^2-4x+4\right)\ge 0,$$
$$\left(x^2-4x-4\right)(x-2)^2\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$x^2-4x-4=0,$$
$$D=16+16=32,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}=2\pm 2\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\left(x-(2-2\sqrt2)\right)(x-2)^2\left(x-(2+2\sqrt2)\right)\ge 0.$$

Так как множитель $(x-2)^2\ge 0$, знак выражения определяется произведением двух линейных множителей. Получаем:

$$x\in(-\infty;\,2-2\sqrt2]\cup\{2\}\cup[2+2\sqrt2;\,+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(4x^2+4x\right)^2<1.$$

Перенесём 1 влево и разложим на множители:

$$\left(4x^2+4x\right)^2-1<0,$$ $$\left(4x^2+4x-1\right)\left(4x^2+4x+1\right)<0.$$

Найдём корни уравнения

$$4x^2+4x-1=0,$$
$$D=16+16=32,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{8}=-\frac12\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Кроме того,

$$4x^2+4x+1=(2x+1)^2.$$

Тогда

$$\left(x+\frac12-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\right)(2x+1)^2<0.$$

Так как $(2x+1)^2\ge 0$, неравенство выполняется между корнями первого множителя:

$$x\in\left(-\frac12-\frac{\sqrt2}{2};\,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;\,-\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;\,2-2\sqrt2]\cup\{2\}\cup[2+2\sqrt2;\,+\infty)$$

б) $$\left(-\frac12-\frac{\sqrt2}{2};\,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;\,-\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\right)$$