Раздел8.6 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем свойства обратных тригонометрических функций.

Для арктангенса:

$$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a.$$

Это следует из нечётности функции $$\operatorname{tg}x$$ и того, что значения $$\operatorname{arctg}x$$ лежат в промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Для арккотангенса:

$$\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a.$$

Значения $$\operatorname{arcctg}x$$ лежат в промежутке $$(0;\pi),$$ поэтому при смене знака аргумента значение дополняется до $$\pi.$$

Также выполняются тождества:

$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha)=\alpha,\qquad \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$

$$\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)=\alpha,\qquad \alpha\in(0;\pi).$$

Итак, получаем формулы:

$$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a,$$

$$\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a,$$

$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha)=\alpha,\qquad \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$

$$\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)=\alpha,\qquad \alpha\in(0;\pi).$$

Ответ

$$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a,\qquad \operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a,$$

$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha)=\alpha,\ \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),\qquad \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)=\alpha,\ \alpha\in(0;\pi).$$