Упр.8.53 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Используем периодичность тригонометрических функций и области значений обратных функций:

$$\arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \qquad \arcctg x \in (0,\pi).$$

1. $$\arctg(\tg 5)=\arctg(\tg(5-2\pi))=5-2\pi,$$
   так как
   $$5-2\pi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

2. $$\arcctg(\ctg 5)=\arcctg(\ctg(5-\pi))=5-\pi,$$
   так как
   $$5-\pi \in (0,\pi).$$

3. $$\arctg(\tg(-7))=\arctg(\tg(2\pi-7))=2\pi-7,$$
   так как
   $$2\pi-7 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

4. $$\arcctg(\ctg(-7))=\arcctg(\ctg(3\pi-7))=3\pi-7,$$
   так как
   $$3\pi-7 \in (0,\pi).$$

5. $$\arctg(\tg(-10))=\arctg(\tg(3\pi-10))=3\pi-10,$$
   так как
   $$3\pi-10 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

6. $$\arcctg(\ctg(-10))=\arcctg(\ctg(4\pi-10))=4\pi-10,$$
   так как
   $$4\pi-10 \in (0,\pi).$$

Ответ

$$\arctg(\tg 5)=5-2\pi,\quad \arcctg(\ctg 5)=5-\pi,\quad \arctg(\tg(-7))=2\pi-7,\quad \arcctg(\ctg(-7))=3\pi-7,\quad \arctg(\tg(-10))=3\pi-10,\quad \arcctg(\ctg(-10))=4\pi-10.$$