Упр.8.53 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем периодичность тригонометрических функций и области значений обратных функций:

$$\arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \qquad \arcctg x \in (0,\pi).$$

1. $$\arctg(\tg 5)=\arctg(\tg(5-2\pi))=5-2\pi,$$
   так как
   $$5-2\pi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

2. $$\arcctg(\ctg 5)=\arcctg(\ctg(5-\pi))=5-\pi,$$
   так как
   $$5-\pi \in (0,\pi).$$

3. $$\arctg(\tg(-7))=\arctg(\tg(2\pi-7))=2\pi-7,$$
   так как
   $$2\pi-7 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

4. $$\arcctg(\ctg(-7))=\arcctg(\ctg(3\pi-7))=3\pi-7,$$
   так как
   $$3\pi-7 \in (0,\pi).$$

5. $$\arctg(\tg(-10))=\arctg(\tg(3\pi-10))=3\pi-10,$$
   так как
   $$3\pi-10 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

6. $$\arcctg(\ctg(-10))=\arcctg(\ctg(4\pi-10))=4\pi-10,$$
   так как
   $$4\pi-10 \in (0,\pi).$$

Ответ

$$\arctg(\tg 5)=5-2\pi,\quad \arcctg(\ctg 5)=5-\pi,\quad \arctg(\tg(-7))=2\pi-7,\quad \arcctg(\ctg(-7))=3\pi-7,\quad \arctg(\tg(-10))=3\pi-10,\quad \arcctg(\ctg(-10))=4\pi-10.$$