Упр.8.47 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. Если $$\tg \alpha > a,$$ то сначала находим угол $$\alpha_1=\arctg a,$$ для которого $$\tg \alpha_1=a.$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),$$ то

   $$\arctg a+\pi k<\alpha<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2. Если $$\tg \alpha < a,$$ то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg a+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

3. Если $$\ctg \alpha > a,$$ то удобно перейти к тангенсу:

   $$\tg \alpha<\frac{1}{a}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg \frac{1}{a}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

4. Если $$\ctg \alpha < a,$$ то

   $$\arctg \frac{1}{a}+\pi k<\alpha<\pi+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Применим это к каждому пункту:

1. $$\tg \alpha>\frac13$$

   $$\arctg \frac13+\pi k<\alpha<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2. $$\tg \alpha>-\frac14$$

   $$\arctg\!\left(-\frac14\right)+\pi k<\alpha<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

3. $$\tg \alpha<3$$

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg 3+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

4. $$\tg \alpha<-3$$

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg(-3)+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

5. $$\ctg \alpha<\frac13$$

   $$\arctg 3+\pi k<\alpha<\pi+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

6. $$\ctg \alpha>3$$

   $$\pi k<\alpha<\arctg \frac13+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

7. $$\ctg \alpha<2$$

   $$\arctg \frac12+\pi k<\alpha<\pi+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

8. $$\ctg \alpha>2$$

   $$\pi k<\alpha<\arctg \frac12+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\arctg \frac13+\pi k<\alpha<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

2) $$\arctg\!\left(-\frac14\right)+\pi k<\alpha<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg 3+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

4) $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<\alpha<\arctg(-3)+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

5) $$\arctg 3+\pi k<\alpha<\pi+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

6) $$\pi k<\alpha<\arctg \frac13+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

7) $$\arctg \frac12+\pi k<\alpha<\pi+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

8) $$\pi k<\alpha<\arctg \frac12+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$