Упр.8.46 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Используем свойства котангенса: если $$\cot \alpha > a,$$ то $$\alpha$$ лежит между соседними точками, где $$\cot \alpha = a,$$ а именно на промежутке вида $$\pi k < \alpha < \arccot a + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

Для значений $$1,\,-1,\,\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{\sqrt{3}}{3},\,\sqrt{3},\,-\sqrt{3}$$ получаем соответствующие углы:

$$\arccot 1=\frac{\pi}{4},\quad \arccot(-1)=\frac{3\pi}{4},\quad \arccot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{3},\quad \arccot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$

$$\arccot \sqrt{3}=\frac{\pi}{6},\quad \arccot(-\sqrt{3})=\frac{5\pi}{6}.$$

1. $$\cot \alpha > 1$$

   $$\pi k < \alpha < \frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\cot \alpha < 1$$

   $$\frac{\pi}{4}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\cot \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$\pi k < \alpha < \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\cot \alpha < \frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$\frac{\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

5. $$\cot \alpha > -1$$

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi k < \alpha < \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

6. $$\cot \alpha < -1$$

   $$\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

7. $$\cot \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi k < \alpha < \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

8. $$\cot \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$\frac{2\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

9. $$\cot \alpha > -\sqrt{3}$$

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

10. $$\cot \alpha < -\sqrt{3}$$

    $$\frac{5\pi}{6}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } \pi k < \alpha < \frac{\pi}{4}+\pi k;\\ &\text{б) } \frac{\pi}{4}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k;\\ &\text{в) } \pi k < \alpha < \frac{\pi}{3}+\pi k;\\ &\text{г) } \frac{\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k;\\ &\text{д) } -\frac{\pi}{4}+\pi k < \alpha < \pi k;\\ &\text{е) } \pi k < \alpha < \frac{3\pi}{4}+\pi k;\\ &\text{ж) } -\frac{\pi}{6}+\pi k < \alpha < \pi k;\\ &\text{з) } \frac{2\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k;\\ &\text{и) } -\frac{\pi}{3}+\pi k < \alpha < \pi k;\\ &\text{к) } \frac{5\pi}{6}+\pi k < \alpha < \pi+\pi k, \end{aligned} \quad k\in\mathbb{Z}. $$