Упр.8.40 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем определения обратных тригонометрических функций:

$$\arctg 0=0,$$
$$\arctg 1=\frac{\pi}{4},$$
$$\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3},$$
$$\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Для отрицательных значений аргумента учитываем нечётность функции арктангенса:

$$\arctg(-x)=-\arctg x.$$

Тогда:

$$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$
$$\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},$$
$$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Если требуется значение в промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то для угла $$\frac{2\pi}{3}$$ получаем:

$$\arctg\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\pi}{3},$$
а для соответствующего положительного угла:
$$\tg \frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}.$$

Ответ

$$\arctg 0=0,\quad \arctg 1=\frac{\pi}{4},\quad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},\quad \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$