Упр.8.24 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\sin \beta \cdot \ctg \beta=\sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}=\cos \beta.$$

2. $$\frac{\tg \alpha}{\ctg \alpha}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=\tg^2 \alpha.$$

3. $$\frac{\sin \beta}{\tg \beta}=\frac{\sin \beta}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}=\cos \beta.$$

4. $$\cos \alpha \cdot \tg \alpha=\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sin \alpha.$$

5. $$\cos^2 \alpha \left(1+\tg^2 \alpha\right)=\cos^2 \alpha \left(1+\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)=\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=1.$$

6. $$1-\sin^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\cdot \sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha.$$

7. $$\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}$$

   $$=\frac{\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}:\frac{\cos \alpha \sin \beta+\cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}$$

   $$=\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}=\tg \alpha \cdot \tg \beta.$$

8. $$\frac{\cos^2 \alpha-\ctg^2 \alpha}{\sin^2 \alpha-\tg^2 \alpha}=\frac{\cos^2 \alpha-\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha-\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$$

   $$=\frac{\cos^2 \alpha\left(1-\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right)}{\sin^2 \alpha\left(1-\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right)}$$

   $$=\frac{\cos^2 \alpha\cdot \frac{\sin^2 \alpha-1}{\sin^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha\cdot \frac{\cos^2 \alpha-1}{\cos^2 \alpha}}=\frac{\cos^4 \alpha\cdot(-\cos^2 \alpha)}{\sin^4 \alpha\cdot(-\sin^2 \alpha)}=\frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha}=\ctg^6 \alpha.$$

Ответ

а) $$\cos \beta$$; б) $$\tg^2 \alpha$$; в) $$\cos \beta$$; г) $$\sin \alpha$$; д) $$1$$; е) $$2\cos^2 \alpha$$; ж) $$\tg \alpha \cdot \tg \beta$$; з) $$\ctg^6 \alpha$$.