Упр.8.20 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1}$$

   Числитель преобразуем:
   $$1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=1-(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha)$$
   $$=1-\bigl((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\bigr)$$
   $$=1-(1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)=2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

   Знаменатель:
   $$\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1=(\sin^2\alpha-1)^2=\cos^4\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1} =\frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^4\alpha} =2\tan^2\alpha.$$

2. $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}$$

   Разложим числитель по формуле разности кубов:
   $$\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha).$$

   Так как $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,$$ получаем
   $$\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha\cos\alpha).$$

   Тогда
   $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha} =\cos\alpha-\sin\alpha.$$

3. $$\frac{1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha-2\sin^2\alpha+1}$$

   Используем тождество
   $$1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

   Знаменатель:
   $$\sin^2\alpha-2\sin^2\alpha+1=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha-2\sin^2\alpha+1} =\frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} =2\sin^2\alpha.$$

4. $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}$$

   Аналогично пункту 2:
   $$\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha\cos\alpha).$$

   Следовательно,
   $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha.$$

Ответ

а) $$2\tan^2\alpha$$; б) $$\cos\alpha-\sin\alpha$$; в) $$2\sin^2\alpha$$; г) $$\cos\alpha-\sin\alpha$$.