Упр.8.16 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Используем свойства монотонности тригонометрических функций на соответствующих промежутках.

$$\tg 60^\circ > \tg 30^\circ$$
Так как на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, а $$60^\circ > 30^\circ$$, то неравенство верно.
$$\ctg 60^\circ < \ctg 30^\circ$$
На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, а $$60^\circ > 30^\circ$$, значит, неравенство верно.
$$\tg \frac{\pi}{4} < \tg \frac{\pi}{3}$$
Оба угла принадлежат промежутку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, где $$\tg x$$ возрастает, а $$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$$, значит, неравенство верно.
$$\ctg \frac{\pi}{4} > \ctg \frac{\pi}{3}$$
Оба угла принадлежат промежутку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, где $$\ctg x$$ убывает, а $$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$$, значит, неравенство верно.
$$\tg 1 > \tg 2$$
Углы $$1$$ и $$2$$ радиана лежат в промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, где функция $$\tg x$$ возрастает. Так как $$1 < 2$$, то должно быть $$\tg 1 < \tg 2$$. Следовательно, данное неравенство неверно.
$$\tg 2 < \tg 3$$
Углы $$2$$ и $$3$$ радиана лежат в промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$, где функция $$\tg x$$ возрастает. Так как $$2 < 3$$, то неравенство верно.
$$\ctg 1 > \ctg 2$$
Углы $$1$$ и $$2$$ радиана лежат в промежутке $$\left(0;\pi\right)$$, где функция $$\ctg x$$ убывает. Так как $$1 < 2$$, то неравенство верно.
$$\ctg 2 > \ctg 3$$
Углы $$2$$ и $$3$$ радиана лежат в промежутке $$\left(0;\pi\right)$$, где функция $$\ctg x$$ убывает. Так как $$2 < 3$$, то должно быть $$\ctg 2 > \ctg 3$$, значит, неравенство верно.
$$\tg 1 > \ctg 2$$
Так как $$1$$ радиан — угол первой четверти, а $$2$$ радиана — угол второй четверти, то $$\tg 1 > 0$$, а $$\ctg 2 < 0$$. Следовательно, $$\tg 1 > \ctg 2$$.