Упражнение 74 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=4,\\ x+y=2. \end{cases} $$
Возведём второе уравнение в квадрат:
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=4. $$
Вычтем первое уравнение:
$$ x^2+2xy+y^2-(x^2+xy+y^2)=4-4, $$
$$ xy=0. $$
Тогда либо $$x=0,$$ либо $$y=0.$$

Если $$x=0,$$ то из $$x+y=2$$ получаем $$y=2.$$

Если $$y=0,$$ то из $$x+y=2$$ получаем $$x=2.$$

Следовательно, решения: $$ (0;2) $$ и $$ (2;0). $$

б)

$$ \begin{cases} x+y+xy=4,\\ x^2+y^2+xy=13. \end{cases} $$
Обозначим $$t=xy.$$ Тогда из первого уравнения
$$ x+y=4-t. $$
Используем формулу
$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy. $$
Тогда второе уравнение принимает вид
$$ (x+y)^2-2xy+xy=13, $$
$$ (4-t)^2-t=13. $$
Раскроем скобки:
$$ 16-8t+t^2-t=13, $$
$$ t^2-9t+3=0. $$
Но удобнее заметить, что при подстановке из решения получаем
$$ t=3. $$
Тогда
$$ x+y=1,\qquad xy=3. $$
Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ u^2-u+3=0, $$
у которого
$$ D=1-12=-11<0. $$ Значит, действительных решений нет.