Упражнение 72 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$a=x^2,\quad b=y^2.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} 2a+b=10,\\ a+2b=10. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2a+b)-(a+2b)=0 \;\Rightarrow\; a-b=0 \;\Rightarrow\; a=b. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2a+a=10 \;\Rightarrow\; 3a=10 \;\Rightarrow\; a=b=\frac{10}{3}. $$

Но тогда $$x^2=\frac{10}{3},\quad y^2=\frac{10}{3},$$ значит

$$ x=\pm \sqrt{\frac{10}{3}},\quad y=\pm \sqrt{\frac{10}{3}}. $$

Следовательно, решения:

$$ \left(\sqrt{\frac{10}{3}},\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\; \left(\sqrt{\frac{10}{3}},-\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\; \left(-\sqrt{\frac{10}{3}},\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\; \left(-\sqrt{\frac{10}{3}},-\sqrt{\frac{10}{3}}\right). $$

б) Обозначим $$a=x^2,\quad b=y^2.$$ Тогда

$$ \begin{cases} a^2+2b=15,\\ 2a+b^2=15. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого после приведения к виду:

$$ (a^2-b^2)+(2b-2a)=0 $$

$$ (a-b)(a+b)-2(a-b)=0 $$

$$ (a-b)(a+b-2)=0. $$

Отсюда либо $$a=b,$$ либо $$a+b=2.$$

1) Если $$a=b,$$ то

$$ a^2+2a=15 \;\Rightarrow\; a^2+2a-15=0 $$

$$ (a-3)(a+5)=0. $$

Так как $$a=x^2\ge 0,$$ получаем $$a=3.$$ Тогда

$$ x^2=3,\quad y^2=3, $$

то есть

$$ (\sqrt3,\sqrt3),\;(\sqrt3,-\sqrt3),\;(-\sqrt3,\sqrt3),\;(-\sqrt3,-\sqrt3). $$

2) Если $$a+b=2,$$ то из системы

$$ \begin{cases} a+b=2,\\ a^2+2b=15 \end{cases} $$

получаем $$b=2-a$$ и

$$ a^2+2(2-a)=15 \;\Rightarrow\; a^2-2a-11=0. $$

$$ D=4+44=48,\quad a=\frac{2\pm \sqrt{48}}{2}=1\pm 2\sqrt3. $$

Но $$a=x^2\ge 0,$$ а значение $$1-2\sqrt3<0,$$ значит подходит только $$a=1+2\sqrt3.$$ Тогда

$$ b=2-a=1-2\sqrt3<0, $$

что невозможно, так как $$b=y^2\ge 0.$$ Следовательно, этот случай решений не даёт.

в) Обозначим $$a=x^2,\quad b=y^2.$$ Тогда

$$ \begin{cases} a^2+2b=15,\\ 2a+b^2=15. \end{cases} $$

Аналогично получаем

$$ (a-b)(a+b-2)=0. $$

1) Если $$a=b,$$ то

$$ a^2+2a=15 \;\Rightarrow\; a^2+2a-15=0 \;\Rightarrow\; a=3. $$

Тогда

$$ x^2=3,\quad y^2=3, $$

и получаем четыре решения:

$$ (\sqrt3,\sqrt3),\;(\sqrt3,-\sqrt3),\;(-\sqrt3,\sqrt3),\;(-\sqrt3,-\sqrt3). $$

2) Если $$a+b=2,$$ то, как и выше, получается противоречие с неотрицательностью $$a$$ и $$b.$$

Ответ

а) $$\left(\sqrt{\frac{10}{3}},\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\left(\sqrt{\frac{10}{3}},-\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\left(-\sqrt{\frac{10}{3}},\sqrt{\frac{10}{3}}\right),\left(-\sqrt{\frac{10}{3}},-\sqrt{\frac{10}{3}}\right).$$

б) $$\left(\sqrt3,\sqrt3\right),\left(\sqrt3,-\sqrt3\right),\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\left(-\sqrt3,-\sqrt3\right).$$

в) $$\left(\sqrt3,\sqrt3\right),\left(\sqrt3,-\sqrt3\right),\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\left(-\sqrt3,-\sqrt3\right).$$