Упражнение 71 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а)

$$ \begin{cases} x^2+4x+2(y-1)+2=0,\\ y^2+2x+4(y-1)-4=0 \end{cases} $$

Преобразуем:

$$ \begin{cases} x^2+4x+2y=0,\\ y^2+2x+4y=0 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ x^2+2x+y^2+4y+4x+2y=0 $$

$$ (x+1)^2+(y-1)^2=0 $$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$ \begin{cases} x+1=0,\\ y-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1,\\ y=1 \end{cases} $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (-1)^2+4(-1)+2(1-1)+2=0 $$

Получаем ещё одно решение при смене знака в преобразовании:

$$ \begin{cases} x=1,\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2=4 \end{cases} \Rightarrow x=\pm 2 $$

Итак, решения системы:

$$ (-1;1;2),\quad (-1;1;-2) $$

б)

$$ \begin{cases} x^2+y^2+4(x-y)+8=0,\\ x^2+2x+y^2-9=0 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$ x^2+4x+y^2-4y+8=0 $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 2x-4y+17=0 $$

Из исходной системы удобно выделить линейные выражения:

$$ \begin{cases} x+2=0,\\ y-2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-2,\\ y=2 \end{cases} $$

Тогда из второго уравнения:

$$ x^2+2x+y^2-9=0 $$

$$ 4-4+4-9=-5\neq 0 $$

Следовательно, второе решение получается при

$$ \begin{cases} x=2,\\ y=2 \end{cases} \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 $$

Итак, решения системы:

$$ (-2;2;3),\quad (-2;2;-3) $$

Ответ

а) $$(-1;1;2),\;(-1;1;-2)$$
б) $$(-2;2;3),\;(-2;2;-3)$$