Упр.7.103 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем свойства обратных тригонометрических функций:

• $$\arcsin(\sin x)=x,$$ если $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right];$$
• $$\arccos(\cos x)=x,$$ если $$x\in[0;\pi].$$

Если угол не принадлежит указанному промежутку, приводим его к сонаправленному углу из области значений обратной функции.

1. $$\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3},$$ так как $$\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

2. $$\arccos\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3},$$ так как $$\frac{\pi}{3}\in[0;\pi].$$

3. $$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\frac{\pi}{4},$$ так как $$-\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

4. $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)=\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6},$$ так как $$\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}.$$

5. $$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

6. $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}.$$

7. $$\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4},$$ так как значение арккосинуса должно лежать в промежутке $$[0;\pi].$$

8. $$\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}.$$

9. $$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6},$$ так как $$\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Ответ

$$\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{3};\ -\frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{6};\ -\frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{6}.$$