Упражнение 67 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x+ay=a+1,\\ (a+1)x+ay=a+2. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$ (a+1)x+ay-(x+ay)=a+2-(a+1), $$
$$ ax=1. $$

Если $$a=0$$, то получаем противоречие, так как из $$ax=1$$ следует $$0=1$$. Значит, $$a\ne 0$$.

Тогда

$$ x=\frac{1}{a}. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ \frac{1}{a}+ay=a+1, $$
$$ ay=a+1-\frac{1}{a}. $$

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не должны быть пропорциональны, то есть определитель системы должен быть отличен от нуля:

$$ \Delta= \begin{vmatrix} 1 & a\\ a+1 & a \end{vmatrix} =a-a(a+1)=-a^2\ne 0. $$

Следовательно, $$a\ne 0$$.

При этом из условия существования решения получаем

$$ a^2-2=0, $$
$$ a=\pm\sqrt{2}. $$

Проверяем найденные значения: они не равны нулю, значит подходят.