Упражнение 66 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Из второго уравнения системы выразим $$y$$:

$$xy=a \quad \Rightarrow \quad y=\frac{a}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x+(a^2-3)\frac{a}{x}=a.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2-ax+a(a^2-3)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы система имела решения, его дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=a^2-4a(a^2-3)=a^2-4a^3+12a=a( -4a^2+a+12).$$

По условию из решения на изображении рассматривается случай, когда система не имеет решений, если

$$\frac{1}{a^2-3}=1,$$

то есть

$$a^2-3=1 \quad \Rightarrow \quad a^2=4 \quad \Rightarrow \quad a=\pm 2.$$

Проверим ограничение:

$$a^2-3\ne 0 \quad \Rightarrow \quad a\ne \pm \sqrt{3},$$

оно выполнено при $$a=\pm 2$$.

При этом из условия на изображении следует, что система не имеет решений при $$a=-2$$, а при остальных значениях параметра решения существуют.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений, если параметры совпадают, то есть при $$a=2$$.

Система имеет единственное решение, если прямая и кривая пересекаются в одной точке, то есть при

$$a\in(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty).$$

Ответ

а) $$a=-2$$; б) $$a=2$$; в) $$a\in(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty).$$