Упражнение 65 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Преобразуем систему к виду

$$ \begin{cases} y=\dfrac{5}{a+1}-\dfrac{2}{a+1}\,x,\\[4pt] y=\dfrac{8+a}{6}-\dfrac{a+2}{6}\,x. \end{cases} $$

Система имеет:

одно решение, если прямые пересекаются;
нет решений, если прямые параллельны и не совпадают;
бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Для параллельности нужно, чтобы коэффициенты при $$x$$ были равны, а свободные члены — не равны:

$$ \frac{2}{a+1}=\frac{a+2}{6}, \qquad \frac{5}{a+1}\ne \frac{8+a}{6}. $$

Из первого равенства получаем:

$$ 12=(a+1)(a+2) $$

$$ a^2+3a-10=0 $$

$$ (a+5)(a-2)=0 $$

$$ a=-5 \text{ или } a=2. $$

Проверим второе условие:

при $$a=-5$$

$$ \frac{5}{a+1}=\frac{5}{-4}\ne \frac{3}{6}, $$

значит, прямые параллельны и не совпадают, решений нет;

при $$a=2$$

$$ \frac{5}{a+1}=\frac{5}{3}\ne \frac{10}{6}, $$

значит, тоже нет решений.

Для совпадения прямых нужно, чтобы одновременно выполнялись оба равенства. Это возможно только при $$a=-5$$, но тогда свободные члены не совпадают, значит совпадения нет.

Следовательно, система имеет одно решение при всех значениях $$a$$, кроме найденных особых случаев.

Итак,

$$ a\in(-\infty,-5)\cup(-5,2)\cup(2,+\infty). $$