Упражнение 64 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть система имеет вид

$$ \begin{cases} ax+y=a,\\ x+(2a+1)y=a+2. \end{cases} $$

Выразим из первого уравнения $$y=a-ax$$ и подставим во второе:

$$ x+(2a+1)(a-ax)=a+2. $$

После преобразований получаем

$$ x\bigl(1-a(2a+1)\bigr)=a+2-a(2a+1). $$

Система не имеет решений, когда коэффициенты при $$x$$ и свободные члены пропорциональны, а прямые не совпадают. Это возможно при

$$ -a=-\frac{1}{2a+1}. $$

Тогда

$$ (2a+1)a=1, $$

$$ 2a^2+a-1=0, $$

$$ (2a-1)(a+1)=0. $$

Отсюда

$$ a=\frac12 \quad \text{или} \quad a=-1. $$

Проверим случай совпадения прямых. Для этого должны одновременно выполняться

$$ \frac{a+2}{2a+1}=a. $$

Тогда

$$ a(2a+1)=a+2, $$

$$ 2a^2=2, $$

$$ a^2=1, $$

$$ a=\pm1. $$

Из найденных значений совпадение прямых даёт только $$a=-1$$, а при $$a=\frac12$$ система не имеет решений.

Следовательно, система имеет единственное решение при всех значениях параметра, кроме $$a=\frac12$$ и $$a=-1$$.

Ответ

$$ a\in(-\infty;-1)\cup(-1;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty). $$