Упражнение 63 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} ax+3y=5,\\ 4x+(4+a)y=10. \end{cases} $$

Найдём определитель системы:

$$ \Delta= \begin{vmatrix} a & 3\\ 4 & 4+a \end{vmatrix} =a(4+a)-12=a^2+4a-12=(a+6)(a-2). $$

Если $$\Delta\ne 0$$, то система имеет единственное решение. Значит, при $$a\ne -6$$ и $$a\ne 2$$ система определённая.

Проверим случаи, когда $$\Delta=0$$.

1) $$a=-6$$. Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} -6x+3y=5,\\ 4x-2y=10. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$ -12x+6y=10. $$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$ 12x-6y=30. $$

Сложение даёт противоречие $$0=40$$, значит, решений нет.

2) $$a=2$$. Тогда система:

$$ \begin{cases} 2x+3y=5,\\ 4x+6y=10. \end{cases} $$

Второе уравнение получается из первого умножением на $$2$$, значит, система имеет бесконечно много решений.

Итак, система имеет:

• единственное решение при $$a\ne -6$$ и $$a\ne 2$$;
• бесконечно много решений при $$a=2$$;
• не имеет решений при $$a=-6$$.

Ответ

а) $$a\ne -6,\ a\ne 2$$ — система имеет единственное решение; при $$a=2$$ — бесконечно много решений; при $$a=-6$$ — решений нет.